Краевая задача для дифференциального уравнения дробного порядка с отклоняющимся аргументом.

July 10, 2018 | Author: Anonymous | Category: Каталог , Без категории
Share Embed


Short Description

Download Краевая задача для дифференциального уравнения дробного порядка с отклоняющимся аргументом. ...

Description

Приволжский научный вестник УДК 517.946 Р.М. Кумышев старший преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений, ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова», г. Нальчик А.А. Битова студент, кафедра дифференциальных уравнений, ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова», г. Нальчик КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ Аннотация. Исследована краевая задача с нелокальными условиями для диффузионного уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом. При решении задачи использован метод Фурье. Ключевые слова: уравнение дробного порядка, оператор дробного дифференцирования, отклоняющийся аргумент, метод разделения переменных. R.M. Kumyshev, Kh.M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University, Nalchik A.A. Bitova, Kh.M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University, Nalchik BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR DIFFERENTIAL EQUATION OF FRACTIONAL ORDER WITH DEFLECTING ARGUMENT Abstract. The boundary-value problem with non-local conditions for the second order diffusion equation with deflecting argument has been studied. The Fourier method has been applied. Keywords: fraction order equations, operator of fractional differentiation, deflecting argument, method of variables separation.

В области Ω = {( x, t ) : −π < x < π,0 < t < π} рассмотрим уравнение:

D0,αt u( x, t ) = a 2u xx ( x, t ) + b 2u xx ( − x, t ),1 < α < 2, a, b − const .

(1)

В настоящее время наблюдается активный рост внимания исследователей к уравнениям дробного порядка [1–2]. Несомненно, развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей. Уравнения дробного порядка с отклоняющимся аргументом характерны для многих диффузионных и биологических моделей и имеют большое прикладное значение. В уравнении (1)

α D0,t − оператор интегро-дифференцирования, в смысле Римана-

Лиувилля дробного порядка ν ∈ R, с началом в точке s , определяется следующим образом [4]:

sign(t − s ) g (ξ)d ξ ,v < 0; Γ( −v ) ∫s t − ξ v +1 t

Dstv g (t ) =

Dstv g (t ) = g (t ),v = 0;

Dstv g (t ) = sign n (t − s )

d n v −n Dst g (t ), n − 1 < v ≤ n, n ∈ N. dt n

Задача. В области Ω найти решение u( x, t ) уравнения (1), непрерывное всюду в Ω , за исключением, быть может, отрезка 0 ≤ x ≤ π прямой t = 0 , и удовлетворяющее условиям:

lim t 2 −α u( x, t ) = τ( x ), lim t 2 −α u( x, t ) = v ( x ), 0 < x < 1 , t t →0 t →0

№ 5-1 (45) – 2015

(2)

9

Приволжский научный вестник α1u x ( π, t ) + β1u( π, t ) = 0, α1u x ( −π, t ) + β1u( −π, t ) = 0,0 < t < T . Решение задачи будем искать в виде u ( x, t ) = X ( x )T (t )[3].

(3) (4)

Подставляя (4) в уравнение (1) и используя краевые условия (3) для функции X ( x ) , получаем следующую задачу: aX ′′( x ) + bX ′′( − x ) + λX ( x ) = 0,

(5)

α1 X ′( π) + β1( π) = 0, α 2 X ′( −π) + β1 X ( −π) = 0 .

(6)

Пусть

u( x ) =

X ( x ) + X (− x ) , 2

v(x) =

X ( x ) − X (− x ) . 2

(7)

Тогда

X ( x ) = u ( x ) + v ( x ).

(8)

Можно показать справедливость следующих соотношений:

u(− x ) =

X (− x ) + X ( x ) X (− x ) − X ( x ) = u( x ), v ( − x ) = = −v ( x ). 2 2

(9)

X ′′( x ) + X ′′( − x ) X ′′( x ) − X ′′( − x ) ,v ′′( x ) = . 2 2

(10)

Отсюда

u ′′( x ) = И соответственно:

X ′′( x ) + X ′′( − x ) = u ′′( x ), (11) 2 X ′′( x ) − X ′′( − x ) u(− x ) = = −v ′′( x ) . (12) 2 Используя соотношения (8)–(12) и краевые условия (6), можно получить для функций u ( x ) и v ( x ) следующие задачи: u ′′( − x ) =

(a 2 + b 2 )u ′′( x ) + λu( x ) = 0,

(13)

α1u ′( π) + β1u( π) = 0, α 2u ′( −π) + β2u( −π) = 0,

(14)

(a + b )v ′′( x ) + λv ( x ) = 0,

(15)

α1v ′( π) + β1v ( π) = 0.

(16)

2

2

Задачи (13)–(14) и (15)–(16) – это задачи на нахождение собственных значений λ, и, соответствующих им, собственных функций u ( x ) и v ( x ). Вначале рассмотрим задачу (13)–(14). Общее решение уравнения (13) имеет вид:

λ λ x + c2 sin 2 x, 2 a +b a + b2

λ > 0 u ( x ) = c1 cos

2

(17)

при

λ = 0, u( x ) = c1 + c2 x,

(18)

при

λ < 0, u( x ) = c1e

− −

λ a2 + b2

x

+ c2 e

− −

λ a2 + b2

x

.

(19)

Рассмотрим первый случай, когда

λ λ x + c2 sin 2 x. 2 a +b a + b2 Используя краевые условия (14), можно прийти к следующей системе алгебраических u ( x ) = c1 cos

10

2

№ 5-1 (45) – 2015

Приволжский научный вестник уравнений относительно неизвестных c1, c2 :

    −α1       +  −α1        α 2      +  −α   2 Введем обозначения

 λ λ λ sin 2 π + β1 cos 2 π c1 + 2 2 2  a +b a +b a + b  2

 λ λ λ cos 2 π + β1siv 2 π c2 = 0 2 2 2  a +b a +b a + b  2

 λ λ λ sin 2 π + β2 cos 2 π  c1 + 2 2 2 2  a +b a +b a +b 

(20)

 λ λ λ cos 2 π − β2 sin 2 π c2 = 0. 2 2 2  a +b a +b a + b  2

λ = m. С учетом последнего, система (20) примет вид: a2 + b2

( −α1m sin(mπ) + β1 cos(mπ)) c1 + ( α1m cos(mπ) + β1 sin(mπ) ) c2 = 0  ( α 2 m sin(mπ) + β2 cos(mπ)) c1 + ( α 2 m cos(mπ) − β1 sin(mπ)) c2 = 0.

(21)

Теорема 1 Если α1 = α 2 = 0, β1 = β2 = 1 , то задача (13)–(14) имеет собственные значения: 2 λ(1) k = (a + b )k , k = 1,2...,

(22)

а задача (15)–(16) собственные значения: 2

1  λ(2) = (a − b )  k +  , k = 0,1,..., k 2   Собственные функции этих задач имеют вид, соответственно:

(23)

1  u ( x ) = Ak cos  k +  x, k = 0, ∞, 2 

(24)

v ( x ) = Bk sin kx, k = 1, ∞.

(25)

Для определения функции T (t ) , можно получить уравнение:

D0αt y (η) + λT (t ) = 0.

(26)

Общее решение уравнения (26) определяется формулой [1]:

T (t ) = a1t α−1E 1  −λc 2 t α ; α  + a2t α− 2 E 1  −λc 2 t α ; α − 1 , α α

(27)

где

lim t 2 −αT (t ) = t →0

a2 , Γ ( α − 1)

a d 2 −α t T (t ) = 1 . t → 0 dt Γ (α)

lim

(28)

Теорема 2 Пусть u( x, t ) – решение задачи (1)–(3). Тогда любое регулярное решение данной задачи может быть представлено в виде ряда: ∞



k =1

k =0

u ( x, t ) = ∑ uk (t ) X k(1) ( x ) + ∑ v k (t ) X k(2) ( x ).

(29)

Заключение Доказана однозначная разрешимость данной задачи при определенных условиях на граничные условия. Присутствие отклоняющегося аргумента в дифференциальном уравнении играет существенную роль.

№ 5-1 (45) – 2015

11

Приволжский научный вестник Список литературы: 1. Нахушев А.М. Уравнение математической биологии. – М.: Высшая школа, 1995. – 301 с. 2. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение. – Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. – 299 с. 3. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М., 1996. 4. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. – Минск, 1978.

12

№ 5-1 (45) – 2015

View more...

Comments

Copyright © 2017 UPDOC Inc.