Геометрия касательного конуса к G-пространству неположительной кривизны по Буземану.

July 10, 2018 | Author: Anonymous | Category: Каталог , Без категории
Share Embed


Short Description

Download Геометрия касательного конуса к G-пространству неположительной кривизны по Буземану. ...

Description

Андреев П.Д., Старостина В.В. Геометрия касательного конуса к G-пространству...

УДК 515.16

АНДРЕЕВ Павел Дмитриевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационной безопасности института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 44 научных публикаций

СТАРОСТИНА Вера Валерьевна, аспирант кафедры алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова

ГЕОМЕТРИЯ КАСАТЕЛЬНОГО КОНУСА К G-ПРОСТРАНСТВУ НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПО БУЗЕМАНУ В статье изучаются геометрические свойства касательного конуса к G-пространству неположительной кривизны в смысле Буземана. Авторы рассматривают конструкцию касательного конуса как основной инструмент для доказательства гипотезы Буземана о топологическом строении G-пространств в классе пространств неположительной кривизны.

Ключевые слова: G-пространство, неположительная кривизна, касательный конус, гипотеза Буземана.

Введение. В цикле работ Герберта Буземана середины XX века [6, 7] разрабатывается геометрический подход к качественным проблемам дифференциальной геометрии, отличный от подхода, основанного на дифференциальном исчислении и тензорном анализе на гладких многообразиях. Работы Буземана во многом перекликаются с фундаментальными исследованиями А.Д.  Александрова, начало которых положено в статье [1], и значительно дополняют их. В основе геометрического подхода Александрова-Буземана лежит понятие геодезической, обобщающее соответствующее понятие дифференциальной геометрии.

Многие естественные объекты дифференциальной геометрии при определенных условиях допускают обобщение с точки зрения геометрии геодезических, не привлекающей аппарат дифференциального исчисления. При этом возможность дифференцирования функций в метрических пространствах в том или ином смысле зачастую из инструмента исследования превращается в его цель. Дифференцирование на гладких многообразиях тесно связано с понятием касательного пространства. Обобщением касательного пространства на случай общего геодезического пространства обычно служит касательный

© Андреев П.Д., Старостина В.В., 2013 133

физика. математика. информатика конус, который возникает как конус над пространством направлений. Но такая трактовка касательного конуса не является единственно возможной. В нашей статье мы определяем касательный конус KpX к G-пространству неположительной кривизны в смысле Буземана X в заданной точке p как предел семейства метрических пространств, гомотетичных данному с центром p и изучаем его геометрические свойства. Заметим, что все условия на геометрию пространства X при определении конуса KpX являются существенными: отсутствие какого-либо из условий влечет некорректность определения. Построенная здесь конструкция касательного конуса имеет важное геометрическое приложение: она работает как основной инструмент в доказательстве гипотезы Буземана о топологическом строении G-пространств в случае пространств неположительной кривизны в смысле Буземана. Предварительные сведения и постановка задачи. Метрическое пространство (X, d) называется G-пространством Буземана, если выполняются следующие аксиомы (см. [3, с. 54]): G1. X конечно компактно, то есть всякое ограниченное бесконечное подмножество в X имеет предельную точку; G2. X выпукло по Менгеру, то есть для любых различных точек p,  q  ∈  X существует точка r, лежащая строго между ними: d(p, q) = d(p, r) + d(r, q); G3. X обладает свойством локальной продолжаемости отрезков: для любой точки x ∈  X существует такое число rx  >  0, что в открытом шаре U=U(x, rx) для любых p, q ∈U существует точка y ∈ U такая, что q лежит между p и y; G4. X обладает свойством единственности продолжения отрезков: если для точек p, q, y1, y2 ∈U выполнены условия d(p, yi) = d(p, q) + d(q, yi), i=1,2; d(q, y1) = d(q, y2) , то y1=y2. Свойство G1 эквивалентно тому условию, что в X всякое ограниченное замкнутое под-

множество компактно. Из свойств G1-G2 легко следует, что всякое G-пространство является геодезическим пространством, то есть любые две точки в X можно соединить отрезком. Мы будем рассматривать G-пространства, удовлетворяющие дополнительно условию неположительности кривизны по Буземану. Геодезическое пространство X называется пространством неположительной кривизны в смысле Буземана, если в X средняя линия любого треугольника не больше половины основания. В книге [3, с. 69] приводится гипотеза о топологическом строении G-пространств: всякое G-пространство является топологическим многообразием. В настоящее время гипотеза Буземана доказана в некоторых частных случаях. В частности, она справедлива для пространств малой топологической размерности. В источнике [3, с. 72] эта гипотеза доказывается для топологически двумерных G-пространств. Также гипотеза доказана в случае трехмерных (см. [8]) и четырехмерных (см. [9]) G-пространств. В статье [2] она доказана для G-пространств ограниченной сверху кривизны в смысле А.Д. Александрова. Довольно полный обзор исследований по геометрии G-пространств приведен в работе Берестовского и соавторов [5]. В настоящей статье определяется понятие касательного конуса к G-пространству неположительной кривизны в смысле Буземана и изучаются его геометрические свойства. Авторы рассматривают касательный конус как важный инструмент, позволяющий доказать гипотезу Буземана для указанного класса G-пространств. Определение касательного конуса. Пусть (X, d) – G-пространство неположительной кривизны в смысле Буземана. Выберем в X отмеченную точку p. Для положительного числа l 0 существует d > 0, что для любого l  0 ограничение id|B(p,r) является гомеоморфизмом на образ. Отсюда сразу следует, что обратное отображение id–1 также непрерывно на X. □ Лемма 4. Пространство KpX конечно компактно. Доказательство. Для произвольной точки x ∈ X справедливо равенство расстояний D(p, x) = d(p, x). Поэтому всякое ограниченное множество в смысле метрики D ограничено и в смысле метрики d. Кроме того, из леммы 3 следует, что сходимость в смысле метрики D эквивалентна сходимости в смысле метрики d. Следовательно, из конечной компактности пространства (X, d) следует конечная компактность конуса KpX.

135

физика. математика. информатика Лемма 5. Пространство KpX является пространством неположительной кривизны в смысле Буземана. Доказательство. Заметим, что KpX является хаусдорфовым пределом пространств неположительной кривизны в смысле Буземана (X, dl). Каждое из пространств (X, dl) подобно пространству (X, d) с коэффициентом 1/l. Отсюда легко следует, что последовательность пространств (X,  d1/n) является унимодулярно выпуклой в смысле определения, данного в [4, с. 31]. Поэтому мы можем воспользоваться теоремой 4.3 из статьи [4, с. 31], из которой следует утверждение леммы. □ Свойство G3 в определении G-пространства подразумевает локальную продолжаемость отрезков. Но в случае G-пространств неположительной кривизны в смысле Буземана несложно заметить, что выполнено даже глобальное свойство продолжаемости отрезков, причем каждый отрезок можно продолжить до прямой линии. Поэтому соответствующее свойство пространства KpX можно сформулировать в следующей лемме. Лемма 6. Пространство KpX обладает свойством продолжения отрезков. Доказательство. Зафиксируем точки y, z ∈X и убывающую бесконечно малую последовательность ln. Для каждого n мы построим точку wn так, что z в метрике dn будет серединой между y и wn. Точка wn существует именно в силу того, что в (X, d) любой отрезок можно продолжать до бесконечности. Все точки wn содержатся в шаре B(p, r), где r = d(p, y) + 2d(y, z). Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, получим точку w = lim wn . n→∞

Изучение предельной процедуры позволяет показать, что точка z будет серединой (в смысле метрики D) между y и w. □ Заметим, что пространство (X, D) допускает действие группы положительных гомотетий ht с центром p. При t < 1 образом произвольной точки x при гомотетии ht служит точка xt, а при t > 1 – такая точка y, что x = y1/t.

Лемма 7. В пространстве KpX выполнено свойство единственности продолжения отрезков. Доказательство. Метрики d и D обладают одним и тем же семейством прямых, проходящих через точку p. Поэтому пространство KpX обладает свойством единственности продолжения отрезков за точку p. Далее мы покажем, что если некоторый отрезок допускает не единственное продолжение, то это противоречит единственности продолжения отрезков за точку p. Предположим, что x1,  x2,  y,  z  ∈  X – такие различные четыре точки, что D(y, x1) = D(y, z) + D(z, x1), D(y, x2) = D(y, z) + D(z, x2) D(z, x1) = D(z, x2) = D(z, y) = 1 . Выберем убывающую бесконечно малую последовательность ln и при каждом n рассмотрим точки ( x1 ) l , ( x2 ) l , yl и zl . Во-первых, воспользуемся тем, что zl → p при n  →  ∞. Рассмотрим также такие точки ( x1 )n , ( x2 )n и yn , что ( xi ) l соответственно лежат между zl и ( xi )n , yl лежит между zl и yn и n

n

n

n

n

n

n

n

n

d ( zl n ,( xi ) n ) = d ( zl n , yn ) = 1

Оценка расстояния D(( x1 ) n ,( x2 ) n ) ≥

.

D(( x1 ) n ,( x2 ) n )

дает

1 D(( x1 ) n ,( x2 ) n ) = D( x1 , x2 ) > 0 ln

Переходя к пределу подпоследовательности при n → ∞, получим предельные точки x1 = lim ( x1 ) n , x = lim ( x ) и y = lim ( y ) . При n→∞

2

n→∞

2 n

n→∞

n

этом p лежит на отрезках [ xi y ] , верно равенство расстояний

136

D( x1 , p ) = D( x2 , p ) = D( y , p) = 1

и неравенство D( x1 , x2 ) ≥ D( x1 , x2 ) > 0 .

Алешко Р.А., Гурьев А.Т. Методика тематического дешифрирования аэрокосмических снимков...

Получается, что отрезок [ yp] в смысле метрики D допускает не единственное продолжение за точку p. Противоречие. □ Соединяя воедино леммы 3 – 7, получаем в итоге описание геометрии касательного конуса KpX. Теорема. Пусть X – G-пространство неположительной кривизны в смысле Буземана. Тогда его касательный конус KpX в произвольной точке p∈X также является G-пространством неположительной кривизны в смысле Буземана. При этом KpX имеет общее с X семейство прямых линий, проходящих через точку p, и допускает действие группы положительных гомотетий ht с центром p.

Заключение. В статье описана конструкция касательного конуса к G-пространству неположительной кривизны. Тот факт, что касательный конус допускает действие группы положительных гомотетий, имеет важное следствие. Рассматривая повторное построение касательного конуса, можно прийти к выводу, что такой повторный конус имеет структуру слоения, слои которого – прямые линии. Этот факт в итоге приводит к доказательству гипотезы Буземана в рассматриваемом нами случае. Другое возможное применение описанной конструкции состоит в построении теории дифференцирования на некотором классе сингулярных G-пространств.

Список литературы 1. Александров А.Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения // Труды мат. института АН СССР им. В.А. Стеклова. 1951. № 38. С. 5–23. 2. Берестовский В.Н. Пространства Буземана ограниченной сверху кривизны по Александрову // Алгебра и анализ. 2002. № 14 (5). С. 3–18. 3. Буземан Г. Геометрия геодезических. М., 1962. 4. Andreev P.D. Geometric Constructions in the Class of Busemann Nonpositively Curved Spaces // J. Math. Ph. An. Geom. 2009. № 5 (1). P. 25–37. 5. Berestovskii V.N., Halverson Denise V., Repovš D. Locally G-homogeneous Busemann G-spaces // Diff. Geom. Appl. 2011. № 29 (3). Р. 299–318. 6. Busemann H. Metric Methods in Finsler Geometry and in the Foundations of Geometry // Ann. Math. Study. 1942. Vol. 8. 7.  Busemann H. On Spaces in Which Two Points Determine a Geodesic // Trans Amer Math. Soc. 1943. Vd. 54. P. 171–184. 8. Krakus B. Any 3-dimensional G-space is a Manifold // Bull. Acad. Pol. Sci. 1968. № 16. P. 737–740. 9. Thurston P. 4-Dimensional Busemann G-spaces are 4-manifolds // Diff. Geom. Appl. 1996 № 6 (3) P. 245–270.

References 1. Aleksandrov A.D. Odna teorema o treugol’nikakh v metricheskom prostranstve i nekotorye ee prilozheniya [A Theorem on Triangles in a Metric Space and Some of Its Applications]. Trudy Mat. instituta AN SSSR im. V.A. Steklova [Collected Papers of Steklov Institute of Mathematics, Academy of Sciences USSR]. 1951, vol. 38, pp. 5–23. 2. Berestovskiy V.N. Prostranstva Buzemana ogranichennoy sverkhu krivizny po Aleksandrovu [Busemann Spaces with Upper Bounded Aleksandrov Curvature]. Algebra i analiz, 2002, vol. 14, no. 5, pp. 3–18. 3. Busemann H. Geometry of Geodesics. 1955 (Russ. ed.: Buzeman G. Geometriya geodezicheskikh. Moscow, 1962. 503 p.). 4. Andreev P.D. Geometric Constructions in the Class of Busemann Nonpositively Curved Spaces. J. Math. Ph. An. Geom., 2009, vol. 5, no. 1, pp. 25–37. 137

физика. математика. информатика

5. Berestovskii V.N., Halverson D.M., Repovš D. Locally G-homogeneous Busemann G-spaces. Diff. Geom. Appl., 2011, vol. 29, no. 3, pp. 299–318. 6. Busemann H. Metric Methods in Finsler Geometry and in the Foundations of Geometry. Ann. Math. Study, 1942, vol. 8. 7. Busemann H. On Spaces in Which Two Points Determine a Geodesic. Trans. Amer. Math. Soc., 1943, vol. 54, pp. 171–184. 8. Krakus B. Any 3-dimensional G-space is a Manifold. Bull. Acad. Pol. Sci., 1968, vol. 16, pp. 737–740. 9. Thurston P. 4-dimensional Busemann G-spaces are 4-manifolds. Diff. Geom. Appl., 1996, vol. 6, no. 3, pp. 245–270.

Andreev Pavel Dmitrievich

Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (Arkhangelsk, Russia)

Starostina Vera Valeryevna

Postgraduate Student, Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (Arkhangelsk, Russia)

GEOMETRY OF THE TANGENT CONE TO BUSEMANN NON-POSITIVELY CURVED G-SPACE The geometric properties of the tangent cone to Busemann non-positively curved G-space are studied in the paper. The authors consider the construction of the tangent cone as a basic tool for proving Busemann conjecture about the topological structure of G-spaces in the class of non-positively curved spaces. Keywords: G-space, non-positive curvature, tangent cone, Busemann conjecture. Контактная информация: Андреев Павел Дмитриевич Адрес: 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 68 е-mail: [email protected] Старостина Вера Валерьевна Адрес: 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 68 e-mail: [email protected] Рецензент – Попов В.Н., доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова

138

View more...

Comments

Copyright © 2017 UPDOC Inc.